Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，底面ABCD的对角线的交点为F，AC=2

2

，PA=2，E是PC上的一点，且PE=2CE．
（Ⅰ）证明：PC⊥EF；   
（Ⅱ）证明∠BED是二面角B-PC-D的平面角；
（Ⅲ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）证明△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，即可得出结论；
（II）证明PC⊥平面BED，可得EB⊥PC，ED⊥PC，从而∠BED是二面角B-PC-D的平面角；
（III）在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足，证明BC⊥平面PAB，求出D点到平面PBC的距离，即可求出PD与平面PBC所成角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：因为AC=2

2

，PA=2，PE=2EC，
故PC=2

3

，EC=

2 3

3

，FC=

2

，
从而

PC

FC

=

6

，

AC

EC

=

6

．
因为

PC

FC

=

AC

EC

，∠FCE=∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC=∠PAC=90°，
由此知PC⊥EF．    …（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD．
由（Ⅰ）知PC⊥EF，所以PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED．
因为BE、ED在平面平面BED内，所以EB⊥PC，ED⊥PC，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角．   …（9分）
（Ⅲ）解：在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A-PB-C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC．
又平面PAB∩平面PBC=PB．
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC．
所以BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，
于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD=2，PD=

PA2+AD2

=2

2

．    …（11分）
设D到平面PBC的距离为d．
因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d=AG=

2

．
设PD与平面PBC所成的角为α，则sina=

d

PD

=

1

2

．
所以PD与平面PBC所成的角为30°．                          …（14分）

点评：本题考查线线垂直，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．