Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的零点和极值；

（3）若对任意，都有成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）零点，极小值；（3）1.

【解析】分析：（1）求出导函数，切线切线方程为，化简即可；

（2）由得极值点，讨论极值点两边的正负，得极值；

（3）求出在上的最小值和最大值，由最大值－最小值求得，可结合要求的最小值，讨论的单调性及最值．

详解：（1）因为，所以．

因为，所以曲线在处的切线方程为.

（2）令，解得，

所以的零点为.

由解得，

则及的情况如下：

		2
	－	0	+

所以函数在时,取得极小值.

（3）法一：

当时，.

当时，.

若，由（2）可知的最小值为，的最大值为，

所以“对任意，有恒成立”等价于

即， 解得. 所以的最小值为1.

法二：当时，. 当时，.

且由（2）可知，的最小值为，

若，令，则

而，不符合要求，

所以. 当时，,,

所以，即满足要求，

综上，的最小值为1.