Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=2截得的弦长为2，且与椭圆C相交于两点A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且过点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=2截得的弦长为2，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式，即可确定结论．

解答 解：（1）∵椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（2分）
∵点P（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）在椭圆上，∴$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{3}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．（4分）
（2）∵直线l被圆O截得的弦长为2，∴圆心O到直线l的距离d=1（15分）
因此，$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²（6分）
由直线l：y=kx+m代入椭圆方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$（8分）
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$≤$2\sqrt{3}•\frac{\frac{1+3{k}^{2}}{2}}{1+3{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$（10分）
当且仅当2k²=1+k²，即k=±1时，|AB|有最大值$\sqrt{3}$．（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．