Question

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“和谐函数”，区间为函数的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：
①；②；③； ④．
其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为                      （     ）

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．②③

Answer 1

Ｄ

解析试题分析：对于①，由于函数的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性；
对于②，由于=2x²-1，当A=[-1，1]时，∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．∴=2x²-1满足题意；
对于③，由指数函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数=|2^x-1|的“和谐区间”，由指数函数的图象可和，满足条件的集合只有A=[0，1]一个．∴=|2^x-1|满足题意；
对于④，由于=ln（x+1）单调递增，且函数的定义域为（-1，+∞），若存在“和谐区间”，则满足，∴m，n是方程的两个根，设，，当x＞0时，＞0，此时函数单调递增，当-1＜x＜0时，＜0，此时函数单调递减，且，故=e^x-x-1=0有且只有一个解，故=ln（x+1）不存在“可等域区间”．故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③．故选：D．
考点：１．函数的概念；２．函数的图象与性质；３．新定义．