Question

（2012•浙江模拟）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a=

3

c，cosC=

3

4

．
（I）求sinB的值；
（II）若D为AC中点，且△ABD的面积为

39

8

，求BD长．

Answer 1

分析：（I）△ABC中，求得sinC=

13

4

，再由2a=

3

c利用正弦定理可得sinA=

39

8

，由a＜c 可得A为锐角，cosA=

5

8

，再由 sinB=sin（A+C），利用角和的正弦公式求得sinB 的值．
（II） sinB=sinC，可得 b=c． 再由△ABD的面积为

39

8

求得 c=2，再利用余弦定理求出BD的值．

解答：解：（I）△ABC中，由cosC=

3

4

可得sinC=

13

4

，再由2a=

3

c利用正弦定理可得
2sinA=

3

sinC=

3

•

13

4

，故sinA=

39

8

．
由a＜c 可得A＜C，∴A为锐角，故 cosA=

5

8

．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

39

8

×

3

4

+

5

8

×

13

4

=

13

4

．
（II）若D为AC中点，∵sinB=sinC，∴b=c． 再由△ABD的面积为

39

8

=

1

2

•bc•sinA= 

1

2

 c2 • 

39

8

，
求得 c=2．
由余弦定理可得 BD²=AB²+AD²-2AB•AD cosA=2²+1²-2×2×1×

5

8

，解得 BD=

10

2

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，诱导公式以及两角和的正弦公式的应用，
属于中档题．