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    (1)若a、b都是非零向量,在什么条件下向量a+b与a-b共线?

    (2)已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2, =6e1+23e2, =4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.

    (1)解析:∵a、b都是非零向量,则a+b与a-b中至少有一个不为零向量,不妨设a+b≠0,则由a+b与a-b共线知存在实数λ,使a-b=λ(a+b),

    ∴(1-λ)a=(1+λ)b.

    ∵a≠0,且b≠0,

    ∴λ≠±1.

    从而b=a,故a∥b.

    综上,可知当a∥b时,a+b与a-b共线.

    (2)证明:

    ∵=++=(2e1+3e2)+(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=12e1+18e2=6(2e1+3e2)

    =6,

    ∴向量与向量共线.

    又∵与有共同的起点A,

    ∴A、B、D三点共线.

    点评：两向量是否共线,关键是能否找到一个实数λ,使b=λa.证明三点共线,第一步应由这三点得到两个向量,第二步应通过计算将一向量用另一向量表示(即共线),最后由两向量有公共点得三点共线.

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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列关于平面向量的命题中是真命题的是
    ④⑤
    ④⑤
    （写出所有你认为是真命题的序号）．
    ①若
    a
    2    =
    b2
    ，则
    a
    =
    b
    或
    a
    =-
    b
    ；
    ②使
    a
    |
    a
    |
    =
    b
    |
    b
    |
    成立的充分条件是
    a
    ∥
    b
    ；
    ③若
    a
    ，
    b
    都是非零向量，则“|
    a
    +
    b
    |=|
    a
    |-|
    b
    |”是“?λ∈R，使得
    a
    =λ
    b
    ”的充分不必要条件；
    ④若
    a
    ，
    b
    均为单位向量，其夹角为θ，则“|
    a
    -
    b
    |＞1    ”是“θ∈(
    π
    3
    ，π)    ”的充要条件；
    ⑤向量
    a
    ，
    b
    (
    a
    ≠
    0
    ，
    a
    ≠
    b
    )    满足|
    b
    |=1    ，且
    a
    与
    b
    -
    a
    的夹角为150°，则|
    a
    |    的取值范围是（0，2]．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    （1）设
    a
    、
    b
    都是非零向量，则“
    a
    •
    b
    =±|
    a
    |•|
    b
    |    ”是“
    a
    、
    b
    共线”的充要条件
    （2）将函数y=sin（2x+
    π
    3
    ）的图象向右平移
    π
    3
    个单位，得到函数y=sin2x的图象；
    （3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
    π
    3
    ，则△ABC必为锐角三角形；
    （4）在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
    其中正确命题的序号是
    （1）（3）
    （1）（3）
    （写出所有正确命题的序号）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列四个命题：
    （1）两个单位向量一定相等      
    （2）若
    a
    与
    b
    不共线，则
    a
    与
    b
    都是非零向量
    （3）零向量没有方向            
    （4）两个相等的向量起点、终点一定都相同
    正确的有：
     
    （填序号）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给出下列命题：
    （1）设
    a
    、
    b
    都是非零向量，则“
    a
    •
    b
    =±|
    a
    |•|
    b
    |    ”是“
    a
    、
    b
    共线”的充要条件
    （2）将函数y=sin（2x+
    π
    3
    ）的图象向右平移
    π
    3
    个单位，得到函数y=sin2x的图象；
    （3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
    π
    3
    ，则△ABC必为锐角三角形；
    （4）在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
    其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．

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