Question

(本小题满分12分)已知函数.（）

（1）若函数有三个零点，且，，求函数 的单调区间；

（2）若，，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.

（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。当时，的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是（4分）（2）导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.（3）.

【解析】

试题分析：（1）因为，又，  

则  ………   （1分）

因为x₁，x₃是方程的两根，则

，，.即      …… （2分）

从而：，

所以. 

令   解得： … ………          （3分）

当时，的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。

当时，的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是（4分）

（2）因为，，所以，

即.

因为，所以，即.       （5分）

于是，，.

①当时，因为，

则在区间内至少有一个零点.        （6分）

②当时，因为，

则在区间（1，2）内至少有一零点.

故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.          （8分）

（3）设m，n是导函数的两个零点，则，.

所以.

由已知，，则，即.

所以，即或.               （10分）

又，，所以，即.

因为，所以. 

综上分析，的取值范围是.                          （12分）

考点：本题考查了导数的运用

点评：可导函数的极值点都是导数等于零的点，求出结果要带回去检验，求函数的单调区间都是转化为导数与０的大小关系进行确定，导数大于０，原函数递增，导函数小于０，则原函数递减，特别是函数含字母时，要注意字母对解不等式的影响，有时需要分类讨论