Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（a，b，c∈R）的一个零点为x=1，另外两个零点分别可作为椭圆和双曲线的离心率，则

b

a

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的应用,双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得

b

a

的范围．

解答： 解：依题意可知f（1）=1+a+b+c=0
∴a+b+c=-1
1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入
f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b
g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1 x₂＞1
g（0）=1+a+b＞0
g（1）=3+2a+b＜0
用线性规划得

b

a

的取值范围是(-2，-

1

2

)．
故答案为：(-2，-

1

2

)．

点评：本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．