Question

抛物线C：y²=4x及圆M：（x-3）²+y²=1，
（1）过圆上一点P（3，1）的直线l₁交抛物线C于A、B两点，若线段AB被点P平分，求直线l₁的方程；
（2）直线l₂交抛物线C于E、F两点，若线段EF的中点在圆M上，求

OE

•

OF

的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）分别设出A，B的坐标，把两点坐标代入抛物线方程，作差后利用弦中点求得AB连线的斜率，然后由点斜式方程得答案；
（2）设出E，F的坐标，把

OE

•

OF

用E，F的纵坐标的乘积表示，由题意得到两点纵坐标乘积的范围，则

OE

•

OF

的取值范围可求．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l₁的斜率为k，
则 y12=4x1，①
y22=4x2，②
①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∵线段AB被点P（3，1）平分，
∴k=

4

y1+y2

=2，
∴直线l₁的方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0；
（2）设E，F的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
∵E、F在抛物线C：y²=4x上，
∴

OE

•

OF

=x3x4+y3y4=

y32

4

•

y42

4

+y3y4
=

1

16

(y3y4)2+y3y4．
由题意可知，当EF的中点分别是圆与x轴的两个交点时，y₃y₄有最小值-16和最大值-8，
即y₃y₄∈[-16，-8]，
∴

1

16

(y3y4)2+y3y4∈[-4，0]．
∴

OE

•

OF

的取值范围是[-4，0]．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．