精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c是实数,且满足a>b>c,a+b+c=0.

(1)求证:y=f(x)与y=g(x)的图象交于不同的两点A,B;

(2)求证:方程f(x)-g(x)=0的两根都小于2;

(3)求有向线段AB在x轴上的射影A1B1的长度的变化范围.

解析:∵a>b>c,a+b+c=0,

∴a>0,c<0.

(1)证明:由消去y,得

ax2+2bx+c=0.①

∴两图象交于不同的两点A,B?方程①有两个不同实数解.

∵a>0,c<0,

∴Δ>0,∴方程①有两个不同的实根.

(2)证明:令F(x)=ax2+2bx+c.

∴方程f(x)-g(x)=0的两根都小于2?y=F(x)的图象与x轴的交点在点(2,0)的左侧.

∵a>0,

∴只需证对称轴x=-<2,且F(2)>0.

而a>b>c,a+b+c=0,

∴a+2b>0,∴-<2.

又F(2)=4a+4b+c=3(a+b)=3(-c)>0,

故命题(2)得证.

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),

则A1(x1,0),B1(x2,0).

∴|A1B1|=|x1-x2|

=.

∵a>b>c,a+b+c=0,

∴2a+c>0,且a+2c<0.

∴-2<<-,

∴|A1B1|∈().

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+
1
2
满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=
5
2
-x
有等根
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)在定义域(-1,t]上的值域为(-1,1],求t的取值范围;
(3)是否存在实数m、n(m<n),使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n],若存在,求出m、n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数y=f(x)+
2
3
x-1
的图象过原点且关于y轴对称,记函数 h(x)=
x
f(x)

(I)求b,c的值;
(Ⅱ)当a=
1
10
时,求函数y=h(x)
的单调递减区间;
(Ⅲ)试讨论函数 y=h(x)的图象上垂直于y轴的切线的存在情况.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根,当a>0时判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)若方程g(x)=x的两实根为x1,x2f(x)=0的两根为x3,x4,求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=
-x2-x+2
的定义域为A,若对任意的x∈A,不等式x2-4x+k≥0成立,则实数k的最小值为
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)f(x)为偶函数,试判断g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有两个不相等的实根,当a>0时判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)当b=2a时,问是否存在x的值,使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a,不等式f(x)<4恒成立?并说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案