Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若存在，使得不等式成立，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

（1）求得函数的导函数为，再和两种情况讨论可得；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，令，，则，求出函数的导数，说明其单调性及最小值，即可求出参数的取值范围；

解：（1）函数的定义域为，

且

当，即时，恒成立，故函数在上单调递增；

当，即时，令，解得，故函数在上单调递增；

令，解得，故函数在上单调递减；

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，

令，，则，

当时，，在上恒成立，故函数在上单调递增，，解得，所以；

当时，，在上单调递减，在上单调递增，则

令，，恒成立，即函数，在上单调递减，又故在上恒成立，即，故

当时，，在上恒成立，故函数在上单调递减，，不符题意，舍去；

综上可得