Question

已知直线y=x+a与曲线y=e^x（e为自然对数的底数）有公共点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、[1，+∞）
• D、（0，1]

Answer 1

分析：直线与函数的图象有公共点，可转化为方程有实数根，通过构造函数，判定函数有无零点即可．

解答：解：当y=x+a与函数y=e^x有公共点时，转化为x+a=e^x有实数根，
令f（x）=e^x-（x+a），则导函数f′（x）=e^x-1，
∴f′（x）＞0时x＞0，f′（x）＜0时x＜0，
∴f（x）在x=0时取极小值f（0）=1-a，
∴当y=x+a与函数y═e^x有公共点时，1-a≤0，即a≥1；
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性及对应方程根的问题，体现了导数在研究函数中的重要作用，是基础题．