Question

解答题：解答时，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f(x－y)＝成立，且f(a)＝1(a为正常数)，当0＜x＜2a时，f(x)＞0． (1) 判断f(x)奇偶性 (2) 证明f(x)为周期函数 (3) 求f(x)在[2a，3a]上的最小值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称， 又f(- x)＝f[(a- x)- a]＝＝＝＝＝＝- f(x)，对于定义域内的每个x值都成立 ∴f(x)为奇函数－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(4分)
(2)	易证：f(x＋4a)＝f(x)，周期为4a．－－－－－－－－－－－－(8分)
(3)	f(2a)＝f(a＋a)＝f[a- (- a)]＝＝＝0， f(3a)＝f(2a＋a)＝f[2a- (- a)]＝＝＝- 1． 先证明f(x)在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈(2a，3a)时，f(x)＜0， 设2a＜x＜3a，则0＜x- 2a＜a， ∴f(x- 2a)＝＝- ＞0，∴f(x)＜0－－－－－－－－－(10分) 设2a＜x1＜x2＜3a， 则0＜x2- x1＜a，∴f(x1)＜0　f(x2)＜0　f(x2- x1)＞0， ∴f(x1)- f(x2)＝＞0，∴f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在[2a，3a]上单调递减－－－－－－－－－－－－－－－－(12分) ∴f(x)在[2a，3a]上的最大值为f(2a)＝0，最小值为f(3a)＝- 1－－－－－－－－－－(14分)