Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣b）lnx+x2在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣3]
B.（﹣∞，2e]
C.（﹣∞，3]
D.（﹣∞，2e2+2e]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f′（x）=lnx+ +2x=lnx﹣ +1+2x， ∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，
若b＞0，则f′′（x）= + +2＞0，
∴f′（x）在[1，e]上是增函数，
∴f′（x）≥f′（1）≥0，即﹣b+1+2≥0，解得0＜b≤3，
综上，b的范围是（﹣∞，3]．
故选：C．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．