【题目】(本题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)若函数在其定义域上是增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求出的极值;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若在内恒成立,试确定的取值范围.
【答案】(Ⅰ)实数的取值范围是;
(Ⅱ)极大值,极小值;(Ⅲ),的取值范围是.
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先求出函数的导函数,再由函数的单调性得到在内恒成立,最后由分离参数法求出实数的取值范围;
(Ⅱ)根据导函数的符号确定函数的单调区间与极值点,进而求出函数的极大值与极小值.
(Ⅲ)设,则在内恒成立
等价于结合(I)的结果,利用导数判断函数的单调性,并出其最大值,从而求出的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)解:函数的定义域为,
则, 1分
因为函数在内是增函数,
所以在内恒成立 2分
所以, 在内恒成立 3分
因为当时, ,当且仅当,即时, 等号成立,
所以实数的取值范围是. 5分
(Ⅱ)解:当时, 7分
当变化时, , 的变化情况如下:
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
所以, 在处取得极大值,
在处取得极小值. 9分
(Ⅲ)解:设
10分
则11分
由(I)可知,且,故,
所以在内为增函数 12分
因为,即,
所以,的取值范围是14分
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【题目】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表
排队人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.16 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.04 |
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
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【题目】曲线C:ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲线E: (t是参数)
(1)求曲线C的普通方程,并指出它是什么曲线.
(2)当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C所得弦长的最小值.
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【题目】如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB= EA= ED,EF∥BD
(I)证明:AE⊥CD
(II)在棱ED上是否存在点M,使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为 ?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.
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【题目】有一个偶数组成的数阵排列如下:
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
则第20行第4列的数为( )
A. 546 B. 540 C. 592 D. 598
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣b)lnx+x2在区间[1,e]上单调递增,则实数b的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3]
B.(﹣∞,2e]
C.(﹣∞,3]
D.(﹣∞,2e2+2e]
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