Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直线，交曲线C于另一点A₂（x₂，y₂），再过A₂（x₂，y₂）作斜率为k₂的直线，交曲线C于另一点A₃（x₃，y₃），…，过A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线，交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，
（1）求x_n+1与x_n的关系式；（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

Answer 1

解：（1）由已知过A_n（x_n，y_n）斜率为的直线为y-y_n=（x-x_n），
直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）
所以y_n+1-y_n=（x_n+1-x_n）（2分）
即=（x_n+1-x_n），x_n+1-x_n≠0，
所以（4分）
（2）解：当n为奇数时，x_n＜2；当n为偶数时，x_n＞2（5分）
因为，（6分）
注意到x_n＞0，所以x_n-2与x_n-1-2异号
由于x₁=1＜2，所以x₂＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N^*）时，x_n＜2；
当n=2k（k∈N^*）时，x_n＞2（8分）
（3）由于x_n＞0，，
所以x_n≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以≤（10分）
所以|x_n-2|≤≤≤…≤（12分）
所以|x₁-2|+|x₂+2|+…+|x_n-2|≤=（14分）
分析：（1）过A_n（x_n，y_n）斜率为的直线为y-y_n=（x-x_n），A_n+1在直线上，化简即可求x_n+1与x_n的关系式；
（2）利用（1）的结论，分当n为奇数时，判断x_n＜2；当n为偶数时，判断x_n＞2，然后推理证明的结论；
（3）利用，再利用放缩法，推出|x_n-2|≤，再证明|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．
点评：本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．