Question

已知=（0，1），直线l：y=-1，动点P到直线l的距离d=||
（1）求动点P的轨迹方程M；
（2）证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则•=-3”为真命题；
（3）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设P（x，y），由题设知
|y+1|=，
解得动点P的轨迹方程M为：x²=4y．
（2）设直线m的方程：y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+1代入x²=4y，得
x²-4kx-4=0，则x₁x₂=-4，y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1，
∴•=-3．
（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且 •=-3，则直线m过点B（0，1）”．
证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+n代入x²=4y，得
x²-4kx-4n=0，则x₁x₂=-4n，y₁y₂=k²x₁x₂+nk（x₁+x₂）+n²=-4nk²+4nk²+n²=n²，
∵•=（x₁，y₁）×（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3，
∴-4n+n²=-3，
∴n=1或n=3，
即直线m过点（0，1 ）或（0，3），
∴逆命题是假命题．
分析：（1）设P（x，y），由题设知|y+1|=，由此能求出动点P的轨迹方程．
（2）设直线m的方程y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，由此能证明•=-3．
（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且 •=-3，则直线m过点B（0，1）”．该逆命题是假命．证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+n代入x²=4y，得x²-4kx-4n=0，则x₁x₂=-4n，y₁y₂=k²x₁x₂+nk（x₁+x₂）+n²=-4nk²+4nk²+n²=n²，由此能证明逆命题是假命题．
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．