Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为b，若存在非零常数a，使得（1-a）S_n=b-a_n+1对一切n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{S_n}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由n=1推导出a₂=ab=aa₁，当n≥2时，由迭代法推导出a_n+2=a•a_n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）当a=1时，S_n=na₁=nb，不合题意，当a≠1时，推导出a=0，与题设矛盾，由此得到不存在非零常数a，b，使得{S_n}成等比数列．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为b，
存在非零常数a，使得（1-a）S_n=b-a_n+1对一切n∈N^*都成立，
由题意得当n=1时，（1-a）b=b-a₂，∴a₂=ab=aa₁，
当n≥2时，（1-a）S_n=b-a_n+1，（1-a）S_n+1=b-a_n+1，
两式作差，得：a_n+2=a•a_n+1，n≥2，
∴{a_n}是首项为b，公比为a的等比数列，
∴${a}_{n}=b•{a}^{n-1}$．
（Ⅱ）当a=1时，S_n=na₁=nb，不合题意，
当a≠1时，${S}_{n}=\frac{b（1-{a}^{n}）}{1-a}$，
若$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}=\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$，即$\frac{1-{a}^{2}}{1-a}=\frac{1-{a}^{3}}{1-{a}^{2}}$，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a，b，使得{S_n}成等比数列．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．