Question

13．已知函数f（x）=x²-kx+k-1．
（1）当k为何值时，不等式f（x）≥0恒成立；
（2）当k∈R时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0恒成，立即x²-kx+k-1≥0恒成立，利用△≤0，解出即可．
（2）当k∈R时，f（x）＞0等价于x²-kx+k-1＞0?（x-1）[x-（k-1）]＞0．由k-1=1，得k=2．对k分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由f（x）≥0恒成，立即x²-kx+k-1≥0恒成立，
∴△=k²-4（k-1）=（k-2）²≤0，
解得k=2．
（2）当k∈R时，f（x）＞0等价于x²-kx+k-1＞0?（x-1）[x-（k-1）]＞0．
由k-1=1，得k=2．
∴当k=2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（1，+∞），
当k＜2时，不等式的解集为（-∞，k-1）∪（1，+∞），
当k＞2时，不等式的解集为（-∞，1）∪（k-1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．