Question

（2012•西城区二模）对数列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：

①若{an}是等比数列，则{an}为1阶递归数列；

②若{an}是等差数列，则{an}为2阶递归数列；

③若数列{an}的通项公式为，则{an}为3阶递归数列．

其中，正确结论的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer 1

D

【解析】

试题分析：利用等差数列、等比数列和数列{an}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．

【解析】
①∵{an}是等比数列，

∴an=，an+1=qan，

∴?k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，

∴{an}为1阶递归数列，故①成立；

②∵{an}是等差数列，

∴an=a1+（n﹣1）d，

∴?k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，

∴{an}为2阶递归数列，故②成立；

③∵若数列{an}的通项公式为，

∴?k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，

∴{an}为3阶递归数列，故③成立．

故选D．