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如图,两个工厂AB相距2kmOAB的中点要在以O为圆心2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼其中MA⊥ABNBAB.据测算此办公楼受工厂A噪音影响度与距离AP的平方成反比比例系数为1;办公楼受工厂B噪音影响度与距离BP的平方也成反比比例系数为4办公楼与AB两厂的总噪音影响度”yAB两厂噪音影响度的和APxkm.

(1)总噪音影响度”y关于x的函数关系式并求出该函数的定义域;

(2)AP为多少时,“总噪音影响度”最小?

 

1y(x)2APkm

【解析】(1)(解法1)如图连结OP

∠AOPα≤α≤.

△AOP由余弦定理得x212222×1×2cosα54cosα,

△BOP由余弦定理得BP212222×1×2cos(πα)54cosα,

BP210x2y.

≤α≤xy(x)

(解法2)建立如图所示的直角坐标系,则A(10)B(10)P(mn)PA2(m1)2n2PB2(m1)2n2.

m2n24PAx

PB210x2(后面解法过程同解法1)

(2)(解法1)y[x2(10x2)]

(5)≥(52)

当且仅当x[]时取等号.

故当APkm,“总噪音影响度最小.

(解法2)y

y=-.

xy0x且当xy<0;当x∈(]y>0.xy取极小值也即最小值.故当APkm,“总噪音影响度最小

 

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