Question

16．如图，P-ABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tan∠PEF=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 取AB中点G，连接EG，可证得平面PAB⊥平面PEG，过E作EF⊥PG，垂足为F，则EF⊥平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影，然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，
取AB中点G，连接EG，则EG⊥AB，又PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AB，
∵PE∩EG=E，∴AB⊥平面PEG，则平面PAB⊥平面PEG，且平面PEG∩平面PAB于PG．
过E作EF⊥PG，垂足为F，则EF⊥平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影．
在Rt△PEG与Rt△PFE中，可得∠PEF=∠PGE．
∵P-ABCD是棱长均为1的正四棱锥，∴EG=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴tan∠PEF=$\frac{PE}{EG}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．