Question

18．已知f（x）（x∈R）有导函数，且?x∈R，f′（x）＞f（x），n∈N^*，则有（　　）

• A． eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＞eⁿf（0）
• B． eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＜eⁿf（0）
• C． eⁿf（-n）＞f（0），f（n）＞eⁿf（0）
• D． eⁿf（-n）＞f（0），f（n）＜eⁿf（0）

Answer 1

分析 设$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出函数g（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断函数值的大小即可．

解答 解：设$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则${g}^{'}（x）=\frac{{f}^{'}（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{{f}^{'}（x）-f（x）}{{e}^{x}}＞0$，
g（x）为R上的增函数，有g（-n）＜g（0）＜g（n），
即$\frac{f（-n）}{{e}^{-n}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}＜\frac{f（n）}{{e}^{n}}$，
即eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＞eⁿf（0），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道基础题．