Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）=-（x²-3x+1）e^x-9（x＞0）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）是否存在x₀∈（0，+∞），使得g（x₀）＞f（x₀）？若存在，试求出x₀的值；若不存在，请说明理由；
（3）若?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）+a，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导数，令导数大于0，求出x的范围即函数的单调递增区间，进一步求出单调递减求出，根据极值的大于得到极值．
（2）求出g（x）的导数，令导函数大于0，求出函数的单调递增区间，进一步求出单调递减区间，求出g（x）的最大值，判断出f（x）的最小值与g（x）的最大值的特殊关系，得到不存在x₀满足条件．
（3）将不等式恒成立问题转化为（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，将（1），（2）中求出的最值代入，得到关于a的不等式，解不等式求出a 的范围．

解答：解：（1）由f′(x)=x-

1

x

＞0(x＞0)
得，x＞1，
故f（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，
故f（x）有极小值为f(1)=

1

2

，无极大值．            
（2）由g'（x）=-（x²-3x+1）e^x-（2x-3）e^x=-（x²-x-2）e^x＞0得，
解得0＜x＜2
故g（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故g（x）_max=g（2）=e²-9＜0
又由（1）知f(x)min=

1

2

＞0，
故不存在x₀满足条件．           
（3）问题转化为f（x）的最小值大于g（x）+a的最大值，
由（2）得，

1

2

＞e2-9+a，
故a＜

19

2

-e2

点评：求函数的单调区间，一般求出函数的导函数，令导函数大于0求出单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间；解决不等式恒成立问题，常转化为函数的最值问题．