Question

【题目】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）写出直线及曲线的直角坐标方程；

（2）过点且平行于直线的直线与曲线交于，两点，若，求点的轨迹及其直角坐标方程．

Answer 1

【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．

【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线的普通方程，消去参数可得曲线的直角坐标方程；

（2）设点，以及平行于直线的直线参数方程，直线与曲线联立方程组，通过，即可求点轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．

解：（1）直线的极坐标方程为，

直线的倾斜角为，且经过原点，

故直线的直角坐标方程为，

曲线的参数方程为为参数），

曲线的直角坐标方程为．

（2）设点，及过点的直线为，

由直线与曲线相交可得：，

，

，即：，

点轨迹的直角坐标方程，表示一椭圆．

取代入得：

由解得

故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．