Question

【题目】在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；

（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；； （2）.

【解析】

（1）曲线的参数方程化简消参后得到普通方程，利用，对直线的极坐标方程进行化简，得到的直角坐标方程；

（2）根据变换规则，得到变换后的曲线的方程，写出其参数方程，从而得到曲线上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.

（1）曲线的参数方程为（为参数）

所以，两式平方后相加得，

即曲线的普通方程为：.

直线的极坐标方程为，

即

，

因为，

所以直线的直角坐标方程为：

（2）曲线：向左平移2个单位，

得到，

再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的

得到，

即曲线；

所以曲线的参数方程为（为参数)，

设曲线上任一点，

则点到直线的距离为：

则(其中)，

当时，取最小值，为

所以点到直线的距离的最小值为.