Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，|an+1﹣an|=pn ， n∈N* ．
（1）若{an}是递增数列，且a1 ， 2a2 ， 3a3成等差数列，求p的值；
（2）若p= ，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}是递增数列，∴an+1﹣an＞0，

则|an+1﹣an|=pn化为：an+1﹣an=pn，

分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p， ，

即a2=1+p， ，

∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，

即4（1+p）=1+3（p2+p+1），

化简得3p2﹣p=0，解得 或0，

当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，

∴ ；

（2）解：由题意可得，|an+1﹣an|= ，

则|a2n﹣a2n﹣1|= ，|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，

∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，

则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得

a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，

又∵|a2n﹣a2n﹣1|= ＞|a2n+2﹣a2n+1|= ，

∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即 ，

同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，

则a2n+1﹣a2n=

当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），

， ， ，…， ，

这2m﹣1个等式相加可得，

= = ，

则 ；

当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）

， ， ，…， ，

这2m个等式相加可得，

= ﹣ = ，

则 ，且当m=0时a1=1符合，

故 ，

综上得，

【解析】（1）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3 ， 再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；（2）根据数列的单调性和式子“|an+1﹣an|=pn”、不等式的可加性，求出 和a2n+1﹣a2n= ，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．