Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．

（1）求证：PC⊥BD；
（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，

由此推出PA⊥BD，

又AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC，而PC平面PAC，所以推出PC⊥BD

（2）解：设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高 ，

当 ，即 时，h最大值为 ，三棱锥E﹣BCD的体积达到最大值为 ．

以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则 ，令E（x，y，z）， ， ，得 ，∴ ，

设 是平面EBD的一个法向量， ， ，

则 ，得 ．

又 是平面BCD的一个法向量，

∴ ，∴二面角E﹣BD﹣C为

【解析】（1）证明BD⊥AC，PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．（2）设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高 ，求出三棱锥E﹣BCD的体积的最大值，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，求出平面EBD的一个法向量，平面BCD的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行才能得出正确答案．