Question

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，当a=，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ＞2n³+1，当n=0，1，2时，，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：．
解答：解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）
对求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为，∴
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥
当a=，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+=1+2n³+＞2n³+1
当n=0，1，2时，
∴a=时，对所有n都有成立
∴a的最小值为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面证明：
首先证明：当0＜x＜1时，
设函数g（x）=x（x²-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x-）
当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
从而=≥=＞=
点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．