Question

（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

与

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，可得A（

an 2

，0），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，当a=

17

，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ＞2n³+1，当n=0，1，2时，(

17

)n≥2n3+1，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，证明当0＜x＜1时，

1

x-x2

≥

27

4

x，即可证明：

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，∴A（

an 2

，0）
对y=-x2+

an

2

求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为y=-

2an

(x-

an 2

)，∴y=-

2an

x+an
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

17

当a=

17

，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+3

C

1 n

+9

C

2 n

+27

C

3 n

=1+2n³+

1

2

n[5(n-2)2+(2n-5)]＞2n³+1
当n=0，1，2时，(

17

)n≥2n3+1
∴a=

17

时，对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n3

n3+1

成立
∴a的最小值为

17

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面证明：

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

＞

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

首先证明：当0＜x＜1时，

1

x-x2

≥

27

4

x
设函数g（x）=

27

4

x（x²-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=

81

4

x（x-

2

3

）
当0＜x＜

2

3

时，g′（x）＜0；当

2

3

＜ x＜1时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴

1

x-x2

≥

27

4

x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

≥

27

4

ak，
从而

n

k=1

1

f(k)-f(2k)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

ak-a2k

≥

27

4

n

k=1

ak=

27

4

×

a-an+1

1-a

＞

27

4

×

a-an

1-a

=

27

4

•

f(1)-f(n)

f(0)-f(1)

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．