Question

（2012•四川）已知函数f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f(α)=

3 2

10

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

化为f（x）=

2

2

cos（x+

π

4

）即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由f(α)=

3 2

10

可求得cos（α+

π

4

）=

3

5

，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

（1+cosx）-

1

2

sinx-

1

2

=

2

2

cos（x+

π

4

）．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[-

2

2

，

2

2

]；…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=

2

2

cos（α+

π

4

）=

3 2

10

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

，
∴sin2α=-cos（

π

2

+2α）=-cos2（α+

π

4

）
=1-2cos2(α+

π

4

)
=1-

18

25

=

7

25

…12分

点评：本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．