Question

（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

与6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，可得A（

an 2

，0），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n+1，即知，aⁿ≥2n+1对所有n成立，当a=3，n≥1时，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+2

C

1 n

=2n+1，当n=0时，aⁿ=2n+1，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，证明当0＜x＜1时，

1

x-x2

＞6x，即可证明：

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

＞6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=-x2+

an

2

与x轴正半轴相交于点A，∴A（

an 2

，0）
对y=-x2+

an

2

求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为y=-

2an

(x-

an 2

)，∴y=-

2an

x+an
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=aⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立的充要条件是aⁿ≥2n+1
即知，aⁿ≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=1得到a≥3
当a=3，n≥1时，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+2

C

1 n

=2n+1
当n=0时，aⁿ=2n+1
∴a=3时，对所有n都有

f(n)-1

f(n)+1

≥

n

n+1

成立
∴a的最小值为3；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面证明：

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

＞6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

首先证明：当0＜x＜1时，

1

x-x2

＞6x
设函数g（x）=6x（x²-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=18x（x-

2

3

）
当0＜x＜

2

3

时，g′（x）＜0；当

2

3

＜ x＜1时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（

2

3

）=

1

9

＞0
∴当0＜x＜1时，g（x）＞0，∴

1

x-x2

＞6x
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此

1

ak-a2k

＞ 6ak，
从而

1

f(1)-f(2)

+

1

f(2)-f(4)

+…+

1

f(n)-f(2n)

=

1

a-a2

+

1

a2-a4

+…+

1

an-a2n

＞6（a+a²+…+aⁿ）=6×

a-an+1

1-a

=6•

f(1)-f(n+1)

f(0)-f(1)

点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．