Question

已知棱长为1的正方体AC₁，E，F分别是B₁ C₁和C₁D₁的中点
（1）求点A₁到平面BDFE的距离
（2）求直线A₁D与平面BDFE所成的角．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A₁到平面BDFE的距离；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，从而得出∠A₁DH是直线A₁D与平面BDFE所成角，结合∠DA₁H+∠A₁DH=90°即可得出直线A₁D与平面BDFE所成的角∠A₁DH的大小．

解答：解：（1）建立空间直角坐标系D-xyz，则B（1，1，0），E（1/2，1，1），F（0，1/2，1），
设

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，1/2，1）得：

n

•

DB

=x+y=0

n

•

DF

=1/2y+z=0
所以：x=-yz=-y/2令y=1，得

n

=（-1，1，1/2），
设点A在平面BDFE上的射影为H，
连接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜线段，
则：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|=|

A1D

|•cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以点A₁到平面BEFE的距离为1；
（2）由（1）知∠DA₁H=45°，
∠A₁DH是直线A₁D与平面BDFE所成角，
且∠DA₁H+∠A₁DH=90°
所以∠A₁DH=45°．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，点、线、面的距离的计算，其中根据已知建立空间坐标系，将问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．