Question

有如下四个命题：
①若直线l₁：2kx+（k+1）y+1=0与直线l₂：x-ky+2=0垂直，则实数k=1；
②若函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值与一个最小值则

7

12

≤ω＜

13

12

③已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（1）=1则f（2011）=1
④曲线C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1关于直线y=-x对称．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：直线与直线垂直求出k的值判断①的正误；
利用函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值与一个最小值求出ω，判断②的正误；
通过定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（1）=1求出f（2011）的值判断③的正误；
通过曲线C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1的性质判断④关于直线y=-x对称的正误．
得到正确选项．

解答：解：①若直线l₁：2kx+（k+1）y+1=0与直线l₂：x-ky+2=0垂直，则实数k=1；而k=0时两条直线垂直，所以不正确．
②若函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值与一个最小值，所以

5π

2

＞2πω+

π

3

≥

3π

2

则

7

12

≤ω＜

13

12

，正确．
③已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），函数的周期为4且f（1）=1则f（2011）=f（3）=f（1）=1，正确；
④曲线C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1，当x＞0，y＞0是焦点在x轴双曲线的一部分；x＞0，y＜0 是椭圆的一部分；x＜0，y＜0 是焦点在y轴的双曲线的一部分；x＜0，y＞0不表示曲线，所以曲线关于直线y=-x对称，不正确．
故答案为：②③．

点评：本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，三角函数的图象的应用，函数的基本性质，曲线的对称性，考查逻辑推理能力，计算能力．