Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC为正三角形；
③若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形；
其中正确的命题是

②④

．

Answer 1

分析：利用三角形中角的范围，结合正余弦定理及举特例，逐一核对四个命题即可得到结论．

解答：解：由sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A=180°-2B，所以①不正确；
由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，结合正弦定理有sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，
又A，B，C为三角形内角，所以A=B=C．所以②正确；
取A=30°，B=60°，C=90°，满足sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以③不正确；
若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1
都是1显然成立，如果两个-1又不可能，所以命题是三角形为正三角形的充要条件，所以④正确．
故答案为②④．

点评：本题考查了命题的真假判断，考查了三角形中角的关系及正余弦定理，此题是中档题．