Question

（2013•湛江一模）已知数列{a_n}的前n项和为Sn=

3

2

n2-

5

2

n+5，cn=1-

3

an

(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_i•c_i-1＜0（i∈N^*），则称i是一个变号数，求数列{c_n}的变号数的个数；
（3）根据笛卡尔符号法则，有：若关于实数x的方程anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x =0的所有素数均为实数，则该方程的正根的个数等于{a_n}的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数，动用以上结论证明：方程c1x3+c2x2-c3x +c₄=0没有比3大的实数根．

Answer 1

分析：（1）利用等式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，确定n≥3时，c_n＞0，从而可数列{c_n}的变号数的个数；
（3）由（2）知该方程为

1

4

x3-

1

2

x2-

2

5

x+

5

8

=0，再令y=x-3，即x=y+3代入，利用系数序列的变号数为0，即可得到结论．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

5

2

n+5-

3

2

(n-1)2+

5

2

(n-1)-5=3n-4
n=1时，a₁=S₁=4，上式不适合
∴a_n=

4，n=1 3n-4，n≥2

；
（2）由（1）知，cn=

1 4 ，n=1 1- 3 3n-4 ，n≥2

∴c1=

1

4

，c2=-

1

2

，c3=

2

5

，c4=

5

8

，c5=

8

11

∴n≥3时，c_n＞0
∵c₁c₂＜0，c₂c₃＜0，c₃c₄＞0，c₄c₅＞0，…，
∴数列{c_n}的变号数的个数是2；
（3）由（2）知该方程为

1

4

x3-

1

2

x2-

2

5

x+

5

8

=0
令y=x-3，即x=y+3
代入原方程得：

1

4

(y+3)3-

1

2

(y+3)2-

2

5

(y+3)+

5

8

=0①
整理得

1

4

y3+

7

4

y2+

67

20

y+

67

40

=0
∵系数序列的变号数为0
∴方程①没有正根，即x-3＞0不成立
∴原方程没有比3大的实数根．

点评：本题考查数列的通项，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．