Question

已知点A（-2，0），B（2，0），直线PA与直线PB斜率之积为-，记点p的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设M，N是曲线C上任意两点，且|-|=|+|，问直线MN是否恒过某定点？若是，请求出定点坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），则由直线PA与直线PB斜率之积为得（x≠±2），
整理得曲线C的方程为（x≠±2）．----（4分）
（Ⅱ）若，则．由题意知A（-2，0）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁），由得，
又，解得直线MN方程为x=-．----（6分）
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．----（8分）
由得，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×+（km+2）×+m²+4=0．
解得m=2k或m=．----（10分）
若m=2k，此时直线过定点（-2，0）不合题意舍去．
故m=，即直线MN过定点（-，0）．
斜率不存在时依然满足．----（12分）
分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），可表示出直线PA，PB的斜率，根据题意直线PA、PB的斜率之积为-，建立等式求得x和y的关系式，即点P的轨迹方程．
（Ⅱ）若，则，从而可得，分直线MN斜率存在与不存在讨论，即可求得直线MN过定点（-，0）．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理解题是关键．