Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）根据二倍角的余弦公式结合辅助角公式，化简整理得f（x）=2sin(2x+

π

6

)．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期的结论，不难得到函数f（x）的最小正周期；
（II）由（I）得到的表达式，结合当x∈[-

π

6

，

π

4

]时，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x+2co

s

2

x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴ω=2，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

ω

=π．
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

．
于是，当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，fmax(x)=2sin

π

2

=2；
当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，fmin(x)=2sin(-

π

6

)=-1．

点评：本题结合辅助角公式和三角函数的降幂公式，将三角函数式化简并求函数的周期与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质等知识，属于基础题．