【题目】未来创造业对零件的精度要求越来越高.
打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有发展空间.某制造企业向
高校打印实验团队租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取
个零件，度量其内径的茎叶图如图（单位：
）.
（1）计算平均值
与标准差
；
（2）假设这台打印设备打印出品的零件内径
服从正态分布
，该团队到工厂安装调试后，试打了
个零件，度量其内径分别为（单位：）：
、
、
、
、
，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
参考数据：
，
，
，
，
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
（Ⅱ）若过
且与直线垂直的直线
与曲线相交于两点
，
，求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，分别过椭圆
左、右焦点
的动直线
相交于
点，与椭圆
分别交于
与
不同四点，直线
的斜率
满足
．已知当
与
轴重合时，
，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】试题分析：（1）当
与
轴重合时，
垂直于轴，得
,得
,
从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则
点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把
坐标化，可得
点的轨迹是椭圆，从而求得定点
和点
.
试题解析：
当与轴重合时，
, 即
,所以
垂直于轴，得
，
，, 得
,
椭圆
的方程为
.
焦点
坐标分别为
, 当直线
或斜率不存在时，点坐标为
或
;
当直线斜率存在时，设斜率分别为
, 设
由
, 得：
, 所以:
，
, 则：
. 同理：
, 因为
, 所以
, 即
, 由题意知
, 所以
， 设
，则
，即
，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆
上.存在点和点，使得
为定值，定值为
.
考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.
【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把
坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆
，从而求得存在两定点和点.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的极值；
（Ⅱ）若函数
的两个零点为
，记
，证明：
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某实验室一天的温度(单位：
)随时间
(单位：
)的变化近似满足函数关系：
.
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，
是底面边长为1的正三棱锥，
分别为棱长
上的点，截面
底面
，且棱台
与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：为正四面体；
（2）若
，求二面角
的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台的体积为
，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.
（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥的体积减去棱锥
的体积.）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，如将年人流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（
，
）
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行最多，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年流入量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为4000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损600万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
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