Question

已知点列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）顺次为一次函数y=

1

4

x+

1

12

图象上的点，点列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以
B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；
（2）试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为y_n=

1

4

n+

1

12

（n∈N），所以y_n+1-y_n=

1

4

，得到{y_n}为等差数列；
（2）因为x_n+1-x_n=2为常数，所以x₁，x₃，x₅，，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差为2的等差数列，分别求出通项公式即可；
（3）存在，要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则|A_nA_n+1|=2，分n为奇数和偶数代入特值可求出a的值．

解答：解：（1）y_n=

1

4

n+

1

12

（n?N），y_n+1-y_n=

1

4

，∴{y_n}为等差数列
（2）x_n+1-x_n=2为常数（6?）∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差为2的等差数列，
∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n-2+a，x_2n=x₂+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴x_n=

n+a-1 当n为奇数 n-a 当n为偶数

（3）要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则|A_nA_n+1|=2，yBn=2（

n

4

+

1

12

），x_n+1-x_n=2（

n

4

+

1

12

）
当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1，∴x_n+1-x_n=2（1-a）．
2（1-a）=2（

n

4

+

1

12

）?a=

11

12

-

n

4

（n为奇数，0＜a＜1）（*）
取n=1，得a=

2

3

，取n=3，得a=

1

6

，若n≥5，则（*）无解；
当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，
∴x_n+1-x_n=2a．
∴2a=2（

n

4

+

1

12

），a=

n

4

+

1

12

（n为偶数，0＜a＜1），取n=2，得a=

7

12

，
若n≥4，则（*）无解．
综上可知，存在直角三形，此时a的值为

2

3

、

1

6

、

7

12

．

点评：考查学生求等差数列通项公式的能力，灵活运用等差数列性质的能力，以及利用数列递推式求数列通项的能力．