Question

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴端点和焦点组成边长为5的菱形，椭圆的离心率为e=

4

5

．  
（1）求椭圆标准方程；
（2）设点p是椭圆上的动点，记p点到直线l：4x-5y+40=0的距离为d，求d的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1，运用离心率公式，菱形的边长即长半轴长，及a，b，c的关系，即可求出椭圆方程；
（2）设直线l′的方程为：4x-5y+m=0，当直线l′与椭圆相切时，d=

|m-40|

41

，由4x-5y+m=0及

x2

25

+

y2

9

=1，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，求出m，即可得到最值．

解答： 解：（1）设椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵a=5，

c

a

=

4

5

，b²=a²-c²，∴a=5，b=3，
故所求方程为 

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）设直线l′的方程为：4x-5y+m=0，
当直线l′与椭圆相切时，记切点p到l的距离为d，d=

|m-40|

41

，
由4x-5y+m=0及

x2

25

+

y2

9

=1，
消去y得9x²+（4x+m）²=9×25，即25x²+8mx+m²-225=0，
令△=64m²-4×25（m²-9×25）=0，则36m²=36×25²，m=±25，
当m=25时 得d=

15

41

，当m=-25时 得d=

65

41

故d的最大值为d=

65

41

，d的最小值为

15

41

．

点评：本题椭圆方程和性质，主要是离心率的运用，考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查两平行直线的距离公式，属于中档题．