[题目]在平面直角坐标系中.曲线是由两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的.对于曲线.有下列四个结论:①曲线是轴对称图形,②曲线上所有的点都在单位圆内,③曲线是中心对称图形,④曲线上所有点的纵坐标.其中.所有正确结论的序号是 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，曲线是由两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的，对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线上所有的点都在单位圆内；③曲线是中心对称图形；④曲线上所有点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是______.

【答案】①③

【解析】

由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数2，利用直接法，设动点坐标为，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断即可.

由题意设动点坐标为，

利用题意及两点间的距离公式的得：，

方程中的被代换，被代换，方程不变，故关于轴对称和轴对称，同时关于原点对称，故曲线是轴对称图形和中心对称图形，故①③正确；

可得，，即，解得，

∴曲线上点的横坐标的范围为，故②错误；

对于④令可得，，

曲线上点的纵坐标的范围为，故④错误；

故答案为：①③

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