Question

【题目】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的右顶点和下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知是椭圆内一点，直线与的斜率之积为，直线分别交椭圆于两点，记，的面积分别为，.

①若两点关于轴对称，求直线的斜率；

②证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②详见解析.

【解析】

（1）根据短轴长得，再根据离心率以及的关系式可解得，从而可求得椭圆的标准方程；

（2）①设出的斜率，写出的方程与椭圆联立解出的坐标，再根据的斜率关系得的斜率和方程与椭圆联立解出的坐标，根据，关于轴对称，列式可求得；

②用的方程联立解得的坐标，通过两点间的距离算得，只要证明，就可证明.

（1）椭圆的短轴长为，离心率为，

所以，，

解得.

所以椭圆方程为.

（2）

①设直线的斜率为，则直线的方程为，

联立，消去并化简得，

解得，所以.

因为直线的斜率乘积为，所以直线的方程为，

联立，消去并化简得，

解得，所以.

因为关于轴对称，所以，

即，解得.

当时，由，解得，在椭圆外，不满足题意.

所以直线的斜率为.

②由①得，，，

由，解得.

即.

所以，

，

.

同理利用两点间的距离公式求得，

，

所以.

所以，

因为，所以

.

即.