【题目】已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点关于原点的对称点为,直线交于点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)根据的周长为,结合离心率,求出,即可求出方程;
(2)设,则,求出直线方程,若斜率不存在,求出坐标,直接验证是否满足题意,若斜率存在,求出其方程,与直线方程联立,求出点坐标,根据和三点共线,将点坐标用表示,坐标代入椭圆方程,即可求解.
(1)因为椭圆的离心率为,的周长为6,
设椭圆的焦距为,则
解得,,,
所以椭圆方程为.
(2)设,则,且,
所以的方程为①.
若,则的方程为②,由对称性不妨令点在轴上方,
则,,联立①,②解得即.
的方程为,代入椭圆方程得
,整理得,
或,.
,不符合条件.
若,则的方程为,
即③.
联立①,③可解得所以.
因为,设
所以,即.
又因为位于轴异侧,所以.
因为三点共线,即应与共线,
所以,即,
所以,又,
所以,解得,所以,
所以点的坐标为或.
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【题目】等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:
(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;
(2)存在某个位置,使得;
(3)设二面角的平面角为,则;
(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.
其中,正确说法的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):
若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.
(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;
(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.
组别 | 分组 | 频数 | 频率 | |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 |
①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知函数f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
D.命题“x0∈R使得”的否定是“x∈R,均有x2+x+1<0”
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【题目】已知椭圆的短轴长为2,离心率为,,分别是椭圆的右顶点和下顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知是椭圆内一点,直线与的斜率之积为,直线分别交椭圆于两点,记,的面积分别为,.
①若两点关于轴对称,求直线的斜率;
②证明:.
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【题目】设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.
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