Question

【题目】已知函数

（1）若，试讨论的单调性；

（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；

（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，

分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.

（1）依题意，当时，，

①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；

②当时，若，；若，；

故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）方法1：由得

令，则，

依题意有，即，

要证，只需证（不妨设），

即证，

令，设，则，

在单调递减，即，从而有.

方法2：由得

令，则，

当时，时，

故在上单调递增，在上单调递减，

不妨设，则，

要证，只需证，易知，

故只需证，即证

令，（），

则

==，

（也可代入后再求导）

在上单调递减，，

故对于时，总有.由此得