Question

【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：

每分钟跳绳个数
得分	16	17	18	19	20

年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）

（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：

（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；

（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）1683；（ii）.

【解析】

（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解．

（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解．

（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况：

①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分；

③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.

由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

则由古典概型的概率计算公式可得.

所以两人得分之和小于35的概率为.

（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：

（个）.

又由，得标准差，

所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.

（i）因为，所以，

故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为

（人）.

（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，

所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.

所以，

，

，

，

故的分布列为：

	0	1	2	3

所以，.