【题目】某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金,需了解每投入2千万资金后,工人人数(单位:百人)对年产能
(单位:千万元)的影响,对投入的人力和年产能的数据作了初步处理,得到散点图和统计量表.
(1)根据散点图判断:与
哪一个适宜作为年产能
关于投入的人力
的回归方程类型?并说明理由?
(2)根据(1)的判断结果及相关的计算数据,建立关于
的回归方程;
(3)现该企业共有2000名生产工人,资金非常充足,为了使得年产能达到最大值,则下一年度共需投入多少资金(单位:千万元)?
附注:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,(说明:
的导函数为
)
【答案】(1)选择,理由见解析;(2)
;(3)20千万
【解析】
(1)由图可知适宜作为年产能
关于投入的人力
的回归方程类型;
(2)由,得
,再利用最小二乘法求出
,从而得到
关于
的回归方程;
(3)利用导数求得当时,
取得最大值.
(1)由图可知适宜作为年产能
关于投入的人力
的回归方程类型
若选择
,则
,此时当
接近于0时,
必小于0,
故选择作为年产能
关于投入的人力
的回归方程类型
(2)由,得
,故
与
符合线性回归,
.
,
,即
,
关于
的回归方程
.
(3)当人均产能达到最大时,年产能也达到最大,
由(2)可知人均产能函数,
,
时,
,
时
,
时,
单调递增,
时,
单调递减,
当
时,人均产能函数
达到最大值,
因此,每2千万资金安排2百人进行生产,能使人均产能达到最大,
对于该企业共有2000名生产工人,且资金充足,
下一年度应该投入20千万资金进行生产,可以适当企业的产能达到最大.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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【题目】太极是中国古代的哲学术语,意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被
的图象分割为两个对称的鱼形图案,图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”,已知小圆的半径均为
,现在大圆内随机投放一点,则此点投放到“鱼眼”部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】凤鸣山中学的高中女生体重 (单位:kg)与身高
(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据
(
),用最小二乘法近似得到回归直线方程为
,则下列结论中不正确的是( )
A.与
具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点
C.若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg.
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【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)
(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布
,其中
,
为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);
(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望与方差.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
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