Question

【题目】已知函数.

（1）若，试判断的符号；

（2）讨论的零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）当或时，有个零点；当且时，有个零点

【解析】

（1）首先计算得到，设，利用二次求导，判断函数的单调性，和比较大小；

（2）首先求函数的导数，讨论，两种情况讨论函数的单调性，判断函数的零点个数，当时，，

设，再次求函数的导数，判断函数的单调性和最小值，讨论求函数的零点个数.

解：（1）.

设，则.

设，则，

∴当时，；当时，.

∴当时，.故，从而.

∴在上单调递增.

∴当时，，从而；

当时，，从而；

当时，，从而.

（2）的定义域为，.

∴当时，，故在上单调递增，

又，∴有个零点.

当时，令，得；令，得.

∴在上上单调递减，在上单调递增.

∴.

设，则.

∴当时，；当时，.∴.

∴当时，，即，

又当时，；当时，；故有个零点.

当时，，故有个零点.

当时，，即，

又当时，；由（1）知，故有个零点.

当或时，有个零点；当且时，有个零点.