【题目】如图,在直三棱柱中,,,是中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)参考解析;(2)
【解析】
试题(1)直线与平面垂直的证明,对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法,所以根据题意建立坐标系后,写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.
(2)证明直线与平面所成的角的正弦值,主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值,再通过两角的互余关系转化为正弦值.
试题解析:(1)证明:因为是直三棱柱,
所以,
又,
即.
如图所示,建立空间直角坐标系.
,,,,
所以 ,,
.
又因为 ,,
所以 ,,平面.
(2)解:由(1)知,是平面的法向量,
,
则 .
设直线与平面所成的角为, 则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(用最简分数表示)
(2)若该校高二年级共有2000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布,其中,为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:
(i)估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);
(ii)若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为,求随机变量的分布列和数学期望与方差.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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【题目】已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. -1 C. D.
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【题目】在多面体中,四边形是正方形,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,.
(1)若对任意,都有成立,求实数的取值范围;
(2)若存在,使成立,求实数的取值范围;
(3)若对任意,都有成立,求实数的取值范围.
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