Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,再证明即可.

（Ⅱ）同（Ⅰ）,证明与平面的法向量垂直即可.

（Ⅲ）分别计算平面与平面的法向量再求解二面角的夹角余弦值即可.

解：（Ⅰ）因为平面,所以,,且底面为正方形,

所以.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则,,,,,.

,,

.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,.

且,

所以平面.

所以是平面的法向量.

因为,

且平面,

所以∥平面.

（Ⅲ）设平面的法向量为,则

即

令,则,.

于是.

平面的法向量为.

设平面与平面所成二面角（锐角）为,

则.

所以平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.